Відповіді на вправи підручника: 518

518. Доведіть, що медіана трикутника ділить кут при вершині на частини, синуси яких пропорційні до синусів відповідних кутів при

основі.

Доведення. Нехай у ∆АВС ВМ – медіана, АМ = МС. Позначимо

∠АВМ = α, ∠СВМ = β, ∠ВАМ = х, ∠ВСМ = у.

За теоремою синусів: із ∆АВМ: $\frac{\mathrm{АМ}}{\sin \alpha }$ = $\frac{\mathrm{BM}}{\sin x}$; із ∆BMC: $\frac{\mathrm{MC}}{\sin \beta }$ = $\frac{\mathrm{BM}}{\sin y}$. Тоді sin α = $\frac{\mathrm{AM}\sin x}{\mathrm{BM}}$, sinβ = $\frac{\mathrm{MC}•\sin y}{\mathrm{BM}}$, а відношення sin α : sin β = $\frac{\mathrm{AM}\sin x}{\mathrm{BM}}$ : $\frac{\mathrm{MC}\sin y}{\mathrm{BM}}$, sinα : sinβ = $\frac{\mathrm{AM}\sin x}{\mathrm{BM}}$ : $\frac{\mathrm{MC}\sin y}{\mathrm{BM}}$, sin α : sin β = $\frac{\mathrm{AM}\sin x}{\mathrm{BM}}$ • $\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{MC}\sin y}$.

Оскільки АМ = МС, то sin α : sin β = sin x : sin y, тобто синуси кутів, на які медіана розбиває кут при вершині, пропорційні до синусів відповідних кутів при основі. Що й треба було довести.