Відповіді на вправи підручника: 519

519. Скориставшись теоремою синусів, доведіть, що медіани AA₁, BB₁ і CC₁ трикутника ABC точкою O їх перетину діляться у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини.

Доведення

Доведемо, що медіана СС₁ проходить через точку О, яка ділить медіану ВВ₁ у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини.

Застосуємо теоремою синусів до ∆ВАА₁С ∆С₁АС.

∆ВАА₁ : $\frac{\mathrm{АВ}}{\sin 1}$ = $\frac{{\mathrm{AA}}_1}{\sin B}$;

∆C₁AC: $\frac{{\mathrm{AC}}_1}{\sin 2}$ = $\frac{{\mathrm{CC}}_1}{\sin A}$.

Застосуємо теорему синусів до ∆ВОА₁ і ∆ОВ₁С.

∆ВОА₁ : $\frac{\mathrm{ВО}}{\sin 1}$ = $\frac{{\mathrm{OA}}_1}{{\sin \mathrm{OBA}}_1}$; ∆OB₁C: $\frac{{\mathrm{OB}}_1}{\sin 2}$ = $\frac{\mathrm{CO}}{{\mathrm{sinOB}}_{1}C}$.

Поділимо почленно ліві частини одержаних рівностей: $\frac{\mathrm{АВ}}{\mathrm{ВО}}$ = $\frac{{\mathrm{АС}}_1}{{\mathrm{ОВ}}_1}$.

Оскільки АВ = 2АС₁, то маємо $\frac{{2\mathrm{АС}}_1}{\mathrm{ВО}}$ = $\frac{{\mathrm{АС}}_1}{{\mathrm{ОВ}}_1}$; ВО : ОВ₁ = 2 : 1.

Доведено.