Відповіді на вправи підручника: 522

522. Діагоналі трапеції ABCD (AB ∥ CD) перетинаються в точці O.

Доведіть, що якщо AC > BD, то AO > BO і CO > DO.

Доведення. Проведемо DA₁ ∥ CA (точка А₁ лежить на продовженні основи АВ), А₁DCA – паралелограм, A₁D = AC.

У ∆A₁DB: A₁D > BD, тоді ∠DBA > ∠DA₁A.

∠CAB = ∠DA₁A (відповідні кути при DA₁ ∥ CA і січній А₁В), тоді ∠DBA > ∠CAB. У ∆AOB: ∠OBA > ∠OAB, тому AO > BO.

У ∆DOC: ∠OCD = ∠OAB (внутрішні різносторонні при DC ∥ AB і січній АС), ∠ODC = ∠OBA (внутрішні різносторонні при DC ∥ AB і січній DB), отже, ∠ODC > ∠OCD, тоді CO > DO. Висновок: якщо AC > BD, то

AO > BO і CO > DO. Що й треба було довести.