Відповіді на вправи підручника: 523

523. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює a, а кут при вершині — α. Знайдіть радіус кола, яке проходить через центр вписаного в цей трикутник кола та кінці основи.

Нехай задано ∆АВС, у якого АВ = ВС, ∠АВС = α, АС = а, О – центр вписаного кола (центр вписаного в рівнобедрений трикутник кола лежить на медіані (бісектрисі), проведеній до основи (О ∈ ВМ). Якщо через т. О і точки А і С проходить коло, то ВА і ВС – дотичні до цього кола у точках А і С відповідно. Тоді центр цього кола лежить у точці О₁ перетину продовження ВМ і перпендикуляра, проведеного через т. А до АВ, О₁А = ОО₁, О₁А ⊥ АВ.

У ∆АВМ (∠АМВ = 90°) ∠АВМ = $\frac{\alpha }{2}$, АМ = $\frac{\alpha }{2}$. Тоді АВ = $\frac{\mathrm{АМ}}{\sin \angle \mathrm{ABM}}$,

AB = $\frac{\frac{a}{2}}{\sin \frac{\alpha }{2}}$ = $\frac{a}{2\sin \frac{\alpha }{2}}$. У ∆АВО₁ (∠ВАО₁ = 90°) АО₁ = АВ tg ∠ABO₁,

AO₁ = $\frac{a•\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}}{2\sin \frac{\alpha }{2}}$ = $\frac{a\frac{\sin \frac{\alpha }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}}{2\sin \frac{\alpha }{2}}$ = $\frac{a\sin \frac{\alpha }{2}}{2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}$ = $\frac{a}{2\cos \frac{\alpha }{2}}$.

Отже, радіус кола з центром О₁ дорівнює $\frac{a}{2\cos \frac{\alpha }{2}}$.

Відповідь: $\frac{a}{2\cos \frac{\alpha }{2}}$.