Відповіді на вправи підручника: 526

526. O — точка перетину діагоналей описаного чотирикутника ABCD. Доведіть, що сума радіусів кіл, описаних навколо трикутників AOB і COD, дорівнює сумі радіусів кіл, описаних навколо трикутників

BOC і AOD.

Якщо чотирикутник ABCD описаний, то

AB + CD = BC + AD.

Нехай R₁, R₂, R₃, R₄ – радіуси кіл, описаних відповідно навколо ∆AOB, ∆COD, ∆BOC, ∆AOD. Позначимо ∠АОВ = α.

За наслідком із теореми синусів: із ∆АОВ:

R₁ = $\frac{\mathrm{AB}}{2\sin \alpha }$; із ∆COD: R₂ = $\frac{\mathrm{CD}}{2\sin \alpha }$

(∠COD = ∠BOA як вертикальні);

із ∆ВОС: R₃ = $\frac{\mathrm{BC}}{2\sin (180°-\alpha )}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{2\sin \alpha }$ (∠BOC – суміжний з ∠АОВ);

із ∆AOD: R₄ = $\frac{\mathrm{AD}}{2\sin \alpha }$. Тоді R₁ + R₂ = $\frac{\mathrm{AB}}{2\sin \alpha }$ + $\frac{\mathrm{CD}}{2\sin \alpha }$ = $\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{CD}}{2\sin \alpha }$;

R₃ + R₄ = $\frac{\mathrm{BC}}{2\sin \alpha }$ + $\frac{\mathrm{AD}}{2\sin \alpha }$ = $\frac{\mathrm{BC}+\mathrm{AD}}{2\sin \alpha }$.

Оскільки AB + CD = BC + AD, то R₁ + R₂ = R₃ + R₄. Що й треба було довести.