Відповіді на вправи підручника: 524

524. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 1 см і 3 см, а бічна сторона — 2 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції.

Нехай у трапеції ABCD AB = CD = 2 см, ВС = 1 см, AD = 3 см, АС – діагональ, СН – висота. Висоти рівнобедреної трапеції відтинають від більшої основи рівні відрізки, тоді HD = $\frac{\mathrm{AD}-\mathrm{BC}}{2}$, HD = $\frac{3-1}{2}$ = 1 (см).

У прямокутному ∆CHD CD = 2 см, HD = 1 см, тоді ∠HCD = 30°, a

∠HDC = 90° – 30° = 60°. CH² = CD² – HD², CH² = 4 – 1 = 3.

У ∆ACH: (∠CHA = 90°) AH = AD – HD, AH = 3 – 1 = 2 (см), тоді

AC² = CH² + AH², AC² = 3 + 4; AC = $\sqrt{7}$ см.

Коло, описане навколо трапеції ABCD, є і колом, описаним навколо ∆ACD. Із ∆ACD за наслідком з теореми синусів $\frac{\mathrm{AC}}{\sin \angle D}$ = 2R,

R = $\frac{\sqrt{7}}{2\sin 60°}$ = $\frac{\sqrt{7}}{2•\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{21}}{3}$ см.

Відповідь: $\frac{\sqrt{21}}{3}$ см.