Відповіді на вправи підручника: 520

520. Через точку K хорди AB кола проведено пряму, яка перетинає

в точках C і D дотичні до кола, що проходять через точки A і B

(мал. 139). Доведіть, що AC · KD = BD · KC.

Доведення. Нехай точка перетину дотичних S, тоді SA = SB (відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки), ∆ASB – рівнобедрений, тоді ∠SAB = ∠SBA. ∠KBP = 180° – ∠SBA = 180° – ∠SAB (сума суміжних кутів 180°). ∠СКА = ∠BKD (вертикальні).

За теоремою синусів: із ∆САК: $\frac{\mathrm{AC}}{\sin \angle \mathrm{CKA}}$ = $\frac{\mathrm{KC}}{\sin \angle \mathrm{CAK}}$, звідки

AC = $\frac{\mathrm{KC}\sin \angle \mathrm{CKA}}{\sin \angle \mathrm{CAK}}$; із ∆KBD: $\frac{\mathrm{BD}}{\sin \angle \mathrm{BKD}}$ = $\frac{\mathrm{KD}}{\sin \angle \mathrm{KBD}}$, KD = $\frac{\mathrm{BD}\sin \angle \mathrm{KBD}}{\sin \angle \mathrm{BKD}}$ або KD = $\frac{\mathrm{BD}\sin \angle \mathrm{CAK}}{\sin \angle \mathrm{CKA}}$.

Знайдемо AC • KD = $\frac{\mathrm{KC}\sin \angle \mathrm{CKA}}{\sin \angle \mathrm{CAK}}$ • $\frac{\mathrm{BD}\sin \angle \mathrm{CAK}}{\sin \angle \mathrm{CKA}}$ = KC • BD.

Отже, AC • KD = KC • BD, що й треба було довести.