Відповіді на вправи підручника: 513

513. Діагональ трапеції, вписаної в коло, дорівнює 4 см. Знайдіть радіус кола, якщо один з кутів трапеції дорівнює: 1) 135°; 2) 30°.

Нехай трапецію ABCD вписано в коло, AC = 4 см. Радіус кола, описаного навколо трапеції, радіус кола, описаного навколо трикутника, на які діагональ AC розбиває трапецію, рівні. Отже, шуканий радіус такий, що 2R = $\frac{\mathrm{AC}}{\sin \angle B}$, R = $\frac{4\mathrm{см}}{2\sin \angle B}$ = $\frac{2\mathrm{см}}{\sin \angle B}$.

1) якщо $\angle$B = 135°, то

R = $\frac{2\mathrm{см}}{\sin 135°}$ = $\frac{2\mathrm{см}}{\sin (90°+75°)}$ = $\frac{2\mathrm{см}}{\cos 45°}$ = $\frac{2\mathrm{см}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = $\frac{4\mathrm{см}}{\sqrt{2}}$ = 2$\sqrt{2}$ см;

2) якщо $\angle$B = 30°, то R = $\frac{2\mathrm{см}}{\sin 30°}$ = $\frac{2\mathrm{см}}{\frac{1}{2}}$ = 4 см.

Відповідь: 1) 2$\sqrt{2}$ см; 2) 4 см.