Відповіді на вправи підручника: 510

510. Діагональ d паралелограма ділить його кут на кути а і р. Знайдіть сторони паралелограма.

Нехай діагональ BD = d, $\angle$ADB = $\alpha$, $\angle$CDB = $\beta$. Знайдемо DC і BC.

$\angle$CBD = $\angle$ADB = $\alpha$. Розглянемо ∆BCD: $\angle$CBD = $\alpha$, $\angle$CDB = $\beta$, тоді $\angle$C = 180° – ($\angle$CBD + $\angle$CDB), $\angle$C = 180° – ($\alpha$ + $\beta$). За теоремою синусів $\frac{\mathrm{BD}}{\sin \angle C}$= $\frac{\mathrm{BC}}{\sin \angle \mathrm{CDB}}$ = $\frac{\mathrm{DC}}{\sin \angle \mathrm{CBD}}$. Із рівності $\frac{\mathrm{BD}}{\sin \angle C}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\sin \angle \mathrm{CDB}}$ маємо:

BC = $\frac{\mathrm{BD}•\sin \angle \mathrm{CDB}}{\sin \angle C}$, BC = $\frac{\mathrm{dsin}\beta }{\sin (180°-(\alpha +\beta ))}$ = $\frac{\mathrm{dsin}\beta }{\sin (\alpha +\beta )}$.

Із рівності $\frac{\mathrm{BD}}{\sin \angle C}$ = $\frac{\mathrm{DC}}{\sin \angle \mathrm{CBD}}$ маємо: DC = $\frac{\mathrm{BD}•\sin \angle \mathrm{CBD}}{\sin \angle C}$, DC = $\frac{\mathrm{dsi}\alpha }{\sin (\alpha +\beta )}$.

Відповідь: $\frac{\mathrm{dsin}\beta }{\sin (\alpha +\beta )}$, $\frac{\mathrm{dsi}\alpha }{\sin (\alpha +\beta )}$.