Відповіді на вправи підручника: 509

509. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює a, а бічна сторона — b. Знайдіть радіус R кола, описаного навколо трикутника, якщо:

1) a = 24 см, b = 13 см; 2) a = 12 см, b = 10 см.

Нехай задано ∆АВС, у якого АВ = АС = b, AC = a. Проведемо медіану ВМ, АМ = $\frac{a}{2}$, ВМ $\perp$ АС. У ∆АВМ ($\angle$АМВ = 90°)

cos A = $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}$, cos A = $\frac{\frac{a}{2}}{b}$ = $\frac{a}{2b}$.

Тоді sin A = $\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$,

sin A = $\sqrt{1-\frac{a^2}{{4b}^2}}$ = $\frac{\sqrt{{4b}^2-a^2}}{2b}$.

У ∆АВС за наслідком з теореми синусів 2R = $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{sinA}}$,

R = $\frac{\mathrm{BC}}{2\mathrm{sinA}}$, R = $\frac{b}{2•\frac{\sqrt{{4b}^2-a^2}}{2b}}$ = $\frac{b^2}{\sqrt{{4b}^2-a^2}}$.

1) якщо a = 24 см, b = 13 см, то R = $\frac{169}{\sqrt{4•169-576}}$ = $\frac{169}{10}$ = 16,9 (см);

2) якщо a = 12 см, b = 10 см, то R = $\frac{100}{\sqrt{4•100-144}}$ = $\frac{100}{16}$ = 6,25 (см).