Відповіді на вправи підручника

Відповіді на вправи підручника: 507

Готова відповідь до завдання 507 з ГДЗ Геометрія 9 клас Бурда 2026.

Геометрія, 9 клас · Відповіді на вправи підручника

Текстова відповідь

507. У трикутнику ABC медіана BM утворює зі стороною AB більший

кут, ніж зі стороною BC. Доведіть, що BC > AB.

У ∆АВС ВМ – медіана, $∠$ АВС > $∠$ СВМ. Позначимо $∠$ АВМ = $α$ , $∠$ СВМ = $β$ , $α$ > $β$ . За теоремою синусів у ∆АВМ:

$\frac{AM}{\sin α}$ = $\frac{AB}{\sin ∠ AMB}$ , у ∆СВМ: $\frac{MC}{\sin β}$ = $\frac{BC}{\sin ∠ CMB}$ .

АВ = $\frac{AMsin ∠ AMB}{\sin α}$ , ВС = $\frac{MCsin ∠ CMB}{\sin β}$ .

За умовою АМ = МС, $∠$ СМВ = 180° – $∠$ АМВ, тоді АВ = $\frac{AMsin ∠ AMB}{\sin α}$ ,

ВС = $\frac{AMsin (180 ° - ∠ AMB)}{\sin β}$ = $\frac{AMsin ∠ AMB}{\sin β}$ .

Знайдемо різницю ВС – АВ = АМ sin $∠$ AMB( $\frac{1}{\sin β}$ – $\frac{1}{\sin α}$ ) = $\frac{AMsin ∠ AMB}{\sin α \sin β}$ (sin $α$ – sin $β$ ); sin $α$ > sin $β$ , тому ВС – АВ > 0, тобто ВС > АВ. Що й треба було довести.