Відповіді на вправи підручника: 505

505. У трикутнику ABC $\angle$A = 45°, $\angle$C = 30°. Знайдіть сторони a і c, якщо a – c = 5.

У ∆АВС $\angle$A = 45°, $\angle$C = 30° і лежать проти сторін a і с відповідно. Тоді за теоремою синусів $\frac{a}{\mathrm{sinA}}$ = $\frac{c}{\mathrm{sinC}}$, $\frac{a}{\sin 45°}$ = $\frac{c}{\sin 30°}$, звідки $\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = $\frac{c}{\frac{1}{2}}$, $\frac{a}{\sqrt{2}}$ = c або a = c$\sqrt{2}$.

1) якщо a – c = 5, то c$\sqrt{2}$ – c = 5, c($\sqrt{2}$ – 1) = 5,

c = $\frac{5}{\sqrt{2}-1}$ = $\frac{5(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$ = $\frac{5(\sqrt{2}+1)}{2-1}$ = 5($\sqrt{2}$ + 1); a = 5($\sqrt{2}$ + 1) • $\sqrt{2}$ = 5(2 + $\sqrt{2}$).

Відповідь: a = 5(2 + $\sqrt{2}$); c = 5($\sqrt{2}$ + 1).