Відповіді на вправи підручника: 503

503. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює a, а кут при основі — $\alpha$. Знайдіть довжину бісектриси кута при основі, якщо.

Нехай у ∆ABC AB = BC, AC = a, $\angle$A = $\angle$C = $\alpha$ (як кути при основі рівнобедреного трикутника, AL – бісектриса $\angle$A.

Тоді $\angle$BAL = $\angle$CAL = $\frac{\alpha }{2}$. У ∆ALC $\frac{\mathrm{AC}}{\sin \angle \mathrm{ALC}}$ = $\frac{\mathrm{AL}}{\sin \angle C}$, звідки AL = $\frac{\mathrm{AC}•\sin \angle A}{\sin \angle \mathrm{ALC}}$.

Оскільки $\angle$ALC = 180° – ($\angle$CAL + $\angle$C) = 180° – ($\frac{\alpha }{2}$ + $\alpha$) = 180° – $\frac{3\alpha }{2}$, то AL = $\frac{a\sin \alpha }{\sin (180°-\frac{3\alpha }{2})}$ = $\frac{a\sin \alpha }{\sin \frac{3\alpha }{2}}$.

1) якщо a = 6 см, $\alpha$ = 30°, то AL = $\frac{6\mathrm{cм}•\sin 30°}{\sin \left(\frac{3•30°}{2}\right)}$ = $\frac{6\mathrm{см}•\frac{1}{2}}{\sin 45°}$ = $\frac{3\mathrm{см}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = 3$\sqrt{2}$ см;

2) якщо a = 7 см, $\alpha$ = 20°, то AL = $\frac{7\mathrm{см}•\sin 20°}{\sin \left(\frac{3•20°}{2}\right)}$ = $\frac{7\mathrm{см}•\sin 20°}{\sin 30°}$ $\approx$ $\frac{7\mathrm{см}•\mathrm{0,342}}{\frac{1}{2}}$ $\approx$ 14 см • 0,342 = 4,8 см.

Відповідь: 1) 3$\sqrt{2}$ см; 2) 4,8 см.