Відповіді на вправи підручника: 504

504. Знайдіть сторони трикутника ABC, якщо ZA = 45°, ZC = 30°, р а висота AD дорівнює 3 см.

У ∆ABC AD $\perp$ BC, $\angle$BAC = 45°, $\angle$BCA = 30°, AD = 3 см. Із ∆ADC ($\angle$ADC = 90°).

AC = $\frac{\mathrm{AD}}{\sin \angle \mathrm{DCA}}$, AC = $\frac{3\mathrm{см}}{\sin 30°}$ = $\frac{3\mathrm{см}}{\frac{1}{2}}$ = 6 см.

У ∆АВС $\angle$ABC = 180° – ($\angle$BAC + $\angle$BCA), $\angle$ABC = 180° – (45° + 30°) = 180° – 75' = 105°.

За теоремою синусів $\frac{\mathrm{AC}}{\sin \angle \mathrm{ABC}}$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\sin \angle \mathrm{BCA}}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\sin \angle \mathrm{BAC}}$.

Із рівності $\frac{\mathrm{AC}}{\sin \angle \mathrm{ABC}}$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\sin \angle \mathrm{BCA}}$ маємо: АВ = $\frac{\mathrm{AC}•\sin \angle \mathrm{BCA}}{\sin \angle \mathrm{ABC}}$,

АВ = $\frac{6\mathrm{см}•\sin 30°}{\sin 105°}$ = $\frac{6\mathrm{см}•\frac{1}{2}}{\sin (90°+15°)}$ = $\frac{3\mathrm{см}}{\cos 15°}$ $\approx$ $\frac{3\mathrm{см}}{\mathrm{0,9659}}$ $\approx$ 3,1 см

Із рівності $\frac{\mathrm{AC}}{\sin \angle \mathrm{ABC}}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\sin \angle \mathrm{BAC}}$ маємо ВС = $\frac{\mathrm{AC}•\sin \angle \mathrm{BAC}}{\sin \angle \mathrm{ABC}}$,

ВС = $\frac{6\mathrm{см}•\sin 45°}{\sin 105°}$ $\approx$ $\frac{6\mathrm{см}•\frac{\sqrt{2}}{2}}{\mathrm{0,9659}}$ $\approx$ 4,4 см.

Відповідь: 3,1 см; 4,4 см.