Відповіді на вправи підручника: 496

496. Кути трикутника відносяться, як 1 : 2 : 3. Як відносяться його

сторони?

Нехай у ∆АВС $\angle$A : $\angle$B : $\angle$C = 1 : 2 : 3. Знайдемо відношення сторін

a : b : c. Нехай x – коефіцієнт пропорційності кутів (x > 0), тоді

$\angle$A – x°, $\angle$B – 2x°, $\angle$C – 3x° і x + 2x + 3x = 180, 6x = 180, x = 30. Отже, $\angle$A = 30°, $\angle$B = 2 • 30° = 60°, $\angle$C = 3 • 30° = 90°. За теоремою синусів $\frac{a}{\mathrm{sinA}}$ = $\frac{b}{\mathrm{sinB}}$ = $\frac{c}{\mathrm{sinC}}$, $\frac{a}{\sin 30°}$ = $\frac{b}{\sin 60°}$ = $\frac{c}{\sin 90°}$,

$\frac{a}{\frac{1}{2}}$ = $\frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = c, 2a = $\frac{2b}{\sqrt{3}}$ = c.

2a = $\frac{2b}{\sqrt{3}}$, b = $\frac{2a\sqrt{3}}{2}$ = a$\sqrt{3}$, 2a = c. Тоді a : b : c = 1 : $\sqrt{3}$ : 2.

Відповідь: 1 : $\sqrt{3}$ : 2.