Відповіді на вправи підручника: 499

499. Сторона трикутника дорівнює а, а прилеглі до неї кути — $\beta$ і $\gamma$.

Знайдіть дві інші сторони трикутника.

Якщо два кути трикутника $\beta$ і $\gamma$, то третій кут $\alpha$ = 180° – ($\beta$ + $\gamma$). Проти цього кута лежить задана сторона а. Нехай дві інші сторони b і c, що лежать проти кутів $\beta$ і $\gamma$ відповідно.

За теоремою синусів $\frac{a}{\sin \alpha }$ = $\frac{b}{\sin \beta }$ = $\frac{c}{\sin \gamma }$,

$\frac{a}{\sin (180°-(\beta +\gamma ))}$ = $\frac{b}{\sin \beta }$ = $\frac{c}{\sin \gamma }$, $\frac{a}{\sin (\beta +\gamma )}$ = $\frac{b}{\sin \beta }$ = $\frac{c}{\sin \gamma }$.

Із рівності $\frac{a}{\sin (\beta +)}$ = $\frac{b}{\sin \beta }$ маємо: b = $\frac{a\sin \beta }{\sin (\beta +\gamma )}$.

Із рівності $\frac{a}{\sin (\beta +\gamma )}$ = $\frac{c}{\sin \gamma }$ маємо c = $\frac{a\sin \gamma }{\sin (\beta +\gamma )}$.

Відповідь: b = $\frac{a\sin \beta }{\sin (\beta +\gamma )}$, c = $\frac{a\sin \gamma }{\sin (\beta +\gamma )}$.