Відповіді на вправи підручника: 462

462. Вершини трикутника містяться в точках A (0; 0), B (6; 0) і

C (–3; 3). Знайдіть кут між стороною АВ та медіаною АМ.

Дано: ∆АВС; А(0; 0); В(6; 0); С(–3; 3);

АМ – медіана.

Знайти: ∠ВАМ.

Розв’язання

Знайдемо координати вектора $\overline{\mathrm{АВ}}$.

$\overline{\mathrm{АВ}}$(6 – 0; 0 – 0) = $\overline{\mathrm{АВ}}$(6; 0).

Знайдемо координати точки М.

х_м = $\frac{6-3}{2}$ = $\frac{3}{2}$; у_м = $\frac{0+3}{2}$ = $\frac{3}{2}$. М($\frac{3}{2}$; $\frac{3}{2}$).

Знайдемо координати вектора $\overline{\mathrm{АМ}}$.

$\overline{\mathrm{АМ}}$ ($\frac{3}{2}$ – 0; $\frac{3}{2}$ – 0) = $\overline{\mathrm{АМ}}$($\frac{3}{2}$; $\frac{3}{2}$).

cos ∠BAM = $\frac{\overline{\mathrm{AB}}•\overline{\mathrm{AM}}}{\left|\overline{\mathrm{AB}}\right|•\left|\overline{\mathrm{AM}}\right|}$ = $\frac{4•\frac{3}{2}+0•\frac{3}{2}}{\sqrt{6^2+0^2}•\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}}$ = $\frac{9+0}{\sqrt{6^2}•\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2•\sqrt{2}}}$ = $\frac{9}{6•\frac{3}{2}•\sqrt{2}}$ = $\frac{9}{9\sqrt{2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

∠BAM = 45°.

Відповідь: 45°.