Відповіді на вправи підручника: 461

461. Знайдіть кут між діагоналями паралелограма, побудованого на

векторах:

1) $\bar{a}$ (2; 2) i $\bar{b}$(5; –2)

Розв’язання

$\bar{d}$₁ = $\bar{a}$ + $\bar{b}$ = ($\overline{2;2}$) + ($\overline{5;-2}$) = ($\overline{7;0}$).

$\bar{d}$₂ = $\bar{b}$ – $\bar{a}$ = ($\overline{5;-2}$) – ($\overline{2;2}$) = ($\overline{3;-4}$).

cos($\bar{d}$₁; $\bar{d}$₂) = $\frac{{\bar{d}}_1•{\bar{d}}_2}{\left|{\bar{d}}_1\right|•\left|{\bar{d}}_2\right|}$ = $\frac{7•3+0•(-4)}{\sqrt{7^2+0^2}•\sqrt{3^2+{(-4)}^2}}$ = $\frac{21+0}{\sqrt{49}•\sqrt{25}}$ = $\frac{21}{7•5}$ = $\frac{3}{5}$ = 0,6.

(${\bar{d}}_1;{\bar{d}}_2$) ≈ 53°.

Відповідь: ≈ 53°.

2) $\bar{a}$ (2; –1) i $\bar{b}$(2; –3).

Розв’язання

$\bar{d}$₁ = $\bar{a}$ + $\bar{b}$ = ($\overline{2;-1}$) + ($\overline{2;-3}$) = ($\overline{4;-4}$).

$\bar{d}$₂ = $\bar{b}$ – $\bar{a}$ = ($\overline{2;-3}$) – ($\overline{2;-1}$) = ($\overline{0;-2}$).

cos($\bar{d}$₁; $\bar{d}$₂) = $\frac{{\bar{d}}_1•{\bar{d}}_2}{\left|{\bar{d}}_1\right|•\left|{\bar{d}}_2\right|}$ = $\frac{4•0+(-4)•(-2)}{\sqrt{4^2+{(-4)}^2}•\sqrt{0^2+{(-4)}^2}}$ = $\frac{0+8}{\sqrt{32}•\sqrt{4}}$ = $\frac{8}{4\sqrt{2}•2}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(${\bar{d}}_1;{\bar{d}}_2$) = 45°.

Відповідь: 45°.