Відповіді на вправи підручника: 458

458. Який кут утворюють одиничні вектори $\bar{a}$ і $\bar{b}$, якщо вектори

$\bar{p}$ = $\bar{a}$ + 2$\bar{b}$ і $\bar{q}$ = 5$\bar{a}$ – 4$\bar{b}$ взаємно перпендикулярні?

Вектори $\bar{a}$і $\bar{b}$такі, що |$\bar{a}$| = 1, |$\bar{b}$| = 1; $\bar{p}$ = $\bar{a}$ + 2$\bar{b}$,

$\bar{q}$ = 5$\bar{a}$ – 4$\bar{b}$ i $\bar{p}$ • $\bar{q}$ = 0 ($\bar{p}$ ⊥ $\bar{q}$).

Тоді $\bar{p}$ • $\bar{q}$ = 0 = ($\bar{a}$ + 2$\bar{b}$)(5$\bar{a}$ – 4$\bar{b}$) = 5$\bar{a}$² – 4$\bar{a}$ • $\bar{b}$ + 10$\bar{a}$ • $\bar{b}$ – 8$\bar{b}$² = 5$\overline{а}$² + 6$\bar{a}$ • $\bar{b}$ – 8$\bar{b}$² = 5 + 6$\bar{a}$ • $\bar{b}$ – 8 = 6$\bar{a}$ • $\bar{b}$ – 3 = 0, ($\bar{a}$² = $\bar{b}$² = 1). Тоді: $\bar{a}$ • $\bar{b}$ = $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$; $\bar{a}$ • $\bar{b}$ = |$\bar{a}$| • |$\bar{b}$| cos ($\bar{a}$; $\bar{b}$) = 1 • 1 • cos($\bar{a}$; $\bar{b}$) = $\frac{1}{2}$, тоді ($\bar{a}$; $\bar{b}$) = 60°.

Відповідь: 60°.