Відповіді на вправи підручника: 455

455. Дано: $\overline{\mathrm{AB}}$ = $\bar{a}$ + 2$\bar{b}$, $\overline{\mathrm{BC}}$ = –4$\bar{a}$ – $\bar{b}$, $\overline{\mathrm{CD}}$ = –5$\bar{a}$ – 3$\bar{b}$. Доведіть, що АВСD — трапеція.

Доведення

Знайдемо вектор $\overline{\mathrm{AD}}$.

$\overline{\mathrm{AD}}$ = $\overline{\mathrm{AB}}$ + $\overline{\mathrm{BD}}$ = $\overline{\mathrm{AB}}$ + $\overline{\mathrm{BC}}$ + $\overline{\mathrm{CD}}$ = $\bar{a}$ + $\overline{2b}$ – 4$\bar{a}$ – $\bar{b}$ – 5$\bar{a}$ – 3$\bar{b}$ = –8$\bar{a}$ – 2$\bar{b}$ = 2(–4$\bar{a}$ – $\bar{b}$).

Маємо: $\overline{\mathrm{AD}}$ = 2$\overline{\mathrm{BC}}$ $\Rightarrow$ $\overline{\mathrm{AD}}$ і $\overline{\mathrm{BC}}$ – колінеарні. AD $\parallel$ BC.

$\overline{\mathrm{AB}}$ і $\overline{\mathrm{CD}}$ – не колінеарні. AB $\nparallel$ CD.

Отже, ABCD – трапеція. Доведено.