Відповіді на вправи підручника: 464

464. Одиничні вектори $\bar{a}$, $\bar{b}$ і $\bar{c}$ задовольняють умову: $\bar{a}$ + $\bar{b}$ + $\bar{c}$ = $\bar{0}$.

Обчисліть $\bar{a}\bar{b}$ + $\bar{b}\bar{c}$ + $\bar{a}\bar{c}$.

Розв’язання

Оскільки |$\bar{a}$| = |$\bar{b}$| = |$\bar{c}$| = 1 i $\bar{a}$ + $\bar{b}$ + $\bar{c}$ = 0, то вектори $\bar{a}$, $\bar{b}$, $\bar{c}$ утворюють рівносторонній трикутник.

Отже, ($\bar{a}$; $\bar{b}$) = ($\bar{b}$; $\bar{c}$) = ($\bar{a}$; $\bar{c}$) = 60°.

$\bar{a}$ $\bar{b}$ + $\bar{b}$ $\bar{c}$ + $\bar{a}$ $\bar{c}$ = |$\bar{a}$| • |$\bar{b}$| • cos($\bar{a}$; $\bar{b}$) + |$\bar{b}$| • |$\bar{c}$| • cos ($\bar{b}$; $\bar{c}$) + |$\bar{a}$| • |$\bar{c}$| • cos($\bar{a}$; $\bar{c}$) + |$\bar{a}$| • |$\bar{c}$| • cos($\bar{a}$; $\bar{c}$) = 1 • 1 • cos 60° + 1 • 1 • cos 60° + 1 • 1 • cos 60° = $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{2}$ = 1,5.

Відповідь: 1,5.