Відповіді на вправи підручника: 463

463. У рівнобічній трапеції ОАСВ: ВС = АС = 2, точки M і N — середини основ трапеції ОВ і АС відповідно. Гострий кут трапеції дорівнює 60°. Знайдіть кут між векторами $\overline{\mathrm{OM}}$ і $\overline{\mathrm{ON}}$.

Дано: ∆ABCD – рівнобічна; ВС = АС = 2; M, N – середини ОВ, АС; ∠АОМ = 60°

Знайти: ($\overline{\mathrm{OM}}$; $\overline{\mathrm{ON}}$).

Розв’язання

($\overline{\mathrm{OM}}$; $\overline{\mathrm{ON}}$) = ∠NOM.

∆CKB (∠K = 90°):

CK = CB • sin 60° = 2 • $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\sqrt{3}$; NM = $\sqrt{3}$.

KB = CB • cos 60° = 2 • $\frac{1}{2}$ = 1 : 0 = 1.

Знайдемо ОМ: EM = AN = $\frac{1}{2}$ • AC = $\frac{1}{2}$ • 2 = 1.

OM = OE + EM = 1 + 1 = 2.

∆OMN (∠M = 90°): tg ∠NOM = $\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{OM}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{\mathrm{1,732}}{2}$ = 0,866;

∠NOM ≈ 41°.

Відповідь: ≈ 41°.