Відповіді на вправи підручника: 468

468. Крайні точки України мають такі географічні координати: північна (55°22’ пн. ш.; 33°11’ сх. д.), східна (49°15’ пн. ш.; 40°13’ сх. д.), південна (44°23’ пн. ш.; 33°44’ сх. д.), західна (48°05’ пн. ш.; 22°08’ сх. д.). Якщо провести умовні прямі через крайні північну

й південну точки та крайні західну і східну точки, то чи можна

переконатися в перпендикулярності цих прямих?

Сх (49°15’ пн.ш. 40°13’ сх.д.)

Зх (48°05’ пн.ш. 22°08’ сх.д.)

Пн (55°22’ пн.ш. 33°11’ сх.д.)

Пд (44°23’ пн.ш. 33°44’ сх.д.)

Довести: $\overline{С\mathrm{хЗх}}$ ⊥ $\overline{\mathrm{ПдПн}}$.

Доведення

Знайдемо координати вектора $\overline{С\mathrm{хЗх}}$.

$\overline{С\mathrm{хЗх}}$ (48°05’ – 49°15’; 22°08’ – 40°13’) = $\overline{С\mathrm{хЗх}}$ (–1°10’; –18°05’) = $\overline{С\mathrm{хЗх}}$(–1$\frac{1}{6}$°; –18$\frac{1}{12}$°).

Знайдемо координати вектора $\overline{\mathrm{ПдПн}}$

$\overline{\mathrm{ПдПн}}$ (55°22’ – 44°23’; 33°11’ – 33°44’) = $\overline{\mathrm{ПдПн}}$ (10°59’; –0°33’) = $\overline{\mathrm{ПдПн}}$ (10$\frac{59}{60}$°; –$\frac{11}{20}$°).

Знайдемо скалярний добуток $\overline{С\mathrm{хЗх}}$ • $\overline{\mathrm{ПдПн}}$. $\overline{С\mathrm{хЗх}}$ • $\overline{\mathrm{ПдПн}}$ = –1$\frac{1}{6}$ • 10$\frac{59}{60}$ – 18$\frac{1}{12}$ • (–$\frac{11}{20}$) = –12,8 + 9,94 = –2,86 ≈ 0.

Отже, $\overline{С\mathrm{хЗх}}$ ⊥ $\overline{\mathrm{ПдПн}}$. Доведено.