Відповіді на вправи підручника: 358

358. Медіани трикутників АВС і А₁В₁С₁ перетинаються відповідно в точках О і О₁. Доведіть, що $\overline{{\mathrm{АА}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{ВВ}}_1}$+ $\overline{{\mathrm{СС}}_1}$= 3$\overline{О{О}_1}$.

Дано: ∆АВС; ОО₁ – точки перетину медіан.

Довести: $\overline{{\mathrm{АА}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{ВВ}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{СС}}_1}$ = 3$\overline{{\mathrm{ОО}}_1}$.

$$ \mathrm{Доведення}$$

За ключовою задачею 356 маємо:

$\overline{\mathrm{ОА}}$ + $\overline{\mathrm{ОВ}}$ + $\overline{\mathrm{ОС}}$ та $\overline{{{О}_1А}_1}$ + $\overline{{О}_1{В}_1}$ + $\overline{{{О}_1С}_1}$ = $\bar{0}$.

За правилом ∆ – запишемо: $\overline{{\mathrm{ОО}}_1}$ = $\overline{\mathrm{ОА}}$ + $\overline{{\mathrm{АО}}_1}$; $\overline{{\mathrm{ОО}}_1}$ = $\overline{\mathrm{ОВ}}$ + $\overline{{\mathrm{ВО}}_1}$;

$\overline{{\mathrm{ОО}}_1}$ = $\overline{ОС}$ + $\overline{{СО}_1}$.

Додавши ліві і праві частини одержаних рівностей маємо:

3$\overline{{\mathrm{ОО}}_1}$ = $\overline{\mathrm{ОА}}$ + $\overline{\mathrm{ОВ}}$ = $\overline{ОС}$ + ($\overline{{\mathrm{ОА}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{ВО}}_1}$ + $\overline{{СО}_1}$) + $\overline{О}$ + ($\overline{{\mathrm{ОА}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{ВО}}_1}$ + $\overline{{СО}_1}$) = $\overline{{\mathrm{АО}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{ВО}}_1}$ + $\overline{{СО}_1}$ = ($\overline{{\mathrm{АА}}_1}$ – $\overline{{{О}_1А}_1}$) + ($\overline{{\mathrm{ВВ}}_1}$ – $\overline{{{О}_1В}_1}$) + ($\overline{{\mathrm{СС}}_1}$ – $\overline{{{О}_1С}_1}$) = $\overline{{\mathrm{АА}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{ВВ}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{СС}}_1}$ – ($\overline{{{О}_1А}_1}$ + $\overline{{{О}_1В}_1}$ + $\overline{{{О}_1С}_1}$) = $\overline{{\mathrm{АА}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{ВВ}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{СС}}_1}$ – $\overline{О}$ = $\overline{{\mathrm{АА}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{ВВ}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{СС}}_1}$.

Отже, $\overline{{\mathrm{АА}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{ВВ}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{СС}}_1}$ = 3$\overline{{\mathrm{ОО}}_1}$. Доведено.