Відповіді на вправи підручника: 356

356. Щоб точка Q була точкою перетину медіан трикутника АВС, необхідно й достатньо, щоб виконувалася рівність $\overline{\mathrm{QA}}$ + $\overline{\mathrm{QB}}$ + $\overline{\mathrm{QC}}$ = $\bar{0}$. Доведіть.

Дано: ∆АВС;

$\overline{\mathrm{QA}}$ + $\overline{QB}$ + $\overline{QC}$ = $\bar{0}$.

Довести: Q – точка перетину медіан ∆АВС.

Доведення

З задачі №355 маємо: для того щоб Q була точкою перетину медіан, необхідно і достатньо, щоб $\overline{{\mathrm{АА}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{ВВ}}_1}$+ $\overline{{\mathrm{СС}}_1}$= $\bar{0}$.

За властивістю медіан: $\overline{\mathrm{QA}}$ = $\frac{2}{3}$ $\overline{{\mathrm{АA}}_1}$, $\overline{\mathrm{QB}}$ = $\frac{2}{3}$ $\overline{{\mathrm{ВВ}}_1}$, $\overline{\mathrm{QC}}$ = $\frac{2}{3}$ $\overline{{\mathrm{CC}}_1}$

$\overline{\mathrm{QA}}$ + $\overline{\mathrm{QB}}$ + $\overline{\mathrm{QC}}$ = $\frac{2}{3}$($\overline{{\mathrm{АА}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{ВВ}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{СС}}_1}$) = $\frac{2}{3}$ • $\bar{0}$ = $\bar{0}$.

Отже, Q – точка перетину медіан ∆АВС. Доведено