Відповіді на вправи підручника: 357

357. Якщо М — точка перетину медіан трикутника АВС, то для

будь–якої точки О справджується рівність: $\overline{\mathrm{ОА}}$ + $\overline{\mathrm{ОВ}}$ + $\overline{ОС}$ = 3$\overline{\mathrm{ОМ}}$.

Доведіть.

Дано: ∆АВС; М – точка перетину медіан

О ∉ АВС.

Довести: $\overline{\mathrm{ОА}}$ + $\overline{\mathrm{ОВ}}$ + $\overline{ОС}$ = 3$\overline{\mathrm{ОМ}}$.

Доведення

За ключовою задачею 375 маємо:

$\overline{\mathrm{МА}}$ + $\overline{\mathrm{МВ}}$ + $\overline{МС}$ = $\bar{0}$.

Застосовуючи правило ∆–ка, запишемо:

$\overline{\mathrm{ОА}}$ = $\overline{\mathrm{ОМ}}$ + $\overline{\mathrm{МА}}$; $\overline{\mathrm{ОВ}}$ = $\overline{\mathrm{ОМ}}$ + $\overline{\mathrm{МВ}}$; $\overline{ОС}$ = $\overline{\mathrm{ОМ}}$ + $\overline{МС}$.

Додавши ліві і праві частини одержаних рівностей, маємо:

$\overline{\mathrm{ОА}}$ + $\overline{\mathrm{ОВ}}$ + $\overline{ОС}$ = 3$\overline{\mathrm{ОМ}}$ + ($\overline{\mathrm{МА}}$ + $\overline{\mathrm{МВ}}$ + $\overline{МС}$) = 3$\overline{\mathrm{ОМ}}$ + $\bar{0}$ = 3$\overline{\mathrm{ОМ}}$.

Отже, $\overline{\mathrm{ОА}}$ + $\overline{\mathrm{ОВ}}$ + $\overline{ОС}$ = 3$\overline{\mathrm{ОМ}}$. Доведено.