Відповіді на вправи підручника: 355

355. Якщо в трикутнику АВС проведено медіани AA₁, BB₁ і CC₁, то

$\overline{{\mathrm{AA}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{BB}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{CC}}_1}$ = $\bar{0}$. Доведіть.

Дано: ∆АВС;

АА₁, ВВ₁, СС₁ – медіани.

Довести: $\overline{{\mathrm{АА}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{ВВ}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{СС}}_1}$= $\bar{0}$.

$$ \mathrm{Доведення}$$

$\overline{{\mathrm{АА}}_1}$ = $\overline{АС}$ + $\frac{1}{2}$ $\overline{{СА}_1}$; $\overline{{\mathrm{ВВ}}_1}$ = $\overline{\mathrm{ВА}}$ + $\frac{1}{2}$ $\overline{{\mathrm{АВ}}_1}$;

$\overline{{\mathrm{СС}}_1}$ = $\overline{СВ}$ + $\frac{1}{2}$ $\overline{{ВС}_1}$.

$\overline{{\mathrm{АА}}_1}$ = $\overline{{\mathrm{ВВ}}_1}$ + $\overline{{\mathrm{СС}}_1}$ = $\overline{АС}$ + $\frac{1}{2}$ $\overline{{СА}_1}$ + $\overline{\mathrm{ВА}}$ + $\frac{1}{2}$ $\overline{{\mathrm{АВ}}_1}$ + $\overline{СВ}$ + $\frac{1}{2}$ $\overline{{ВС}_1}$ = ($\overline{АС}$ + $\overline{СВ}$ + $\overline{\mathrm{ВА}}$) + $\frac{1}{2}$ ($\overline{{СА}_1}$ + $\overline{{\mathrm{АВ}}_1}$ + $\overline{{ВС}_1}$) = ($\overline{\mathrm{АВ}}$ + $\overline{\mathrm{ВА}}$) + $\frac{1}{2}$ ($\overline{{А}_1В}$ + $\overline{{В}_1С}$ + $\overline{{{С}_1А}_1}$) = $\bar{0}$ + $\frac{1}{2}$ ($\overline{{{А}_1С}_1}$ + $\overline{{{С}_1А}_1}$) = $\bar{0}$ + $\frac{1}{2}$ • = $\bar{0}$.

Доведено.