Відповіді на вправи підручника: 352

352. AP – медіана трикутника АВС. Доведіть, що $\overline{\mathrm{AР}}$ = $\frac{1}{2}$($\overline{\mathrm{AВ}}$ + $\overline{AС}$).

Дано: ∆АВС; Р – середина ВС.

Довести: $\overline{\mathrm{AP}}$ = $\frac{1}{2}$($\overline{\mathrm{AB}}$ + $\overline{\mathrm{AC}}$).

Доведення: Добудуємо паралелограм ABCD на сторонах АВ і АС трикутника.

$\overline{\mathrm{AB}}$ + $\overline{\mathrm{AC}}$ = $\overline{\mathrm{AD}}$. Діагоналі паралелограма ВС і AD перетинаються і діляться цією точкою навпіл, тобто Р – точка перетину діагоналей.

$\overline{\mathrm{AP}}$ = $\frac{1}{2}\overline{\mathrm{AD}}$ = $\frac{1}{2}$($\overline{\mathrm{AB}}$ + $\overline{\mathrm{AC}}$). Отже, $\overline{\mathrm{AP}}$ = $\frac{1}{2}$($\overline{\mathrm{AB}}$ + $\overline{\mathrm{AC}}$). Що й треба було довести.