Відповіді на вправи підручника: 353

353. О — точка перетину медіан трикутника АВС. Доведіть, що

$\overline{\mathrm{AO}}$ = $\frac{1}{3}$ ($\overline{\mathrm{AB}}$ + $\overline{\mathrm{AC}}$).

За результатами задачі 352, $\overline{\mathrm{AP}}$ = $\frac{1}{2}$($\overline{\mathrm{AB}}$ + $\overline{\mathrm{AC}}$). Відомо, що медіани торикутника перетинаються і точкою перетину діляться у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини. АО : ОР = 2 : 1, а отже, $\overline{\mathrm{AO}}$ = $\frac{2}{3}$ $\overline{\mathrm{AP}}$, Тоді

$\overline{\mathrm{AO}}$ = $\frac{2}{3}$ • $\frac{1}{2}$($\overline{\mathrm{AB}}$ + $\overline{\mathrm{AC}}$) = $\frac{1}{3}$($\overline{\mathrm{AB}}$ + $\overline{\mathrm{AC}}$).

Маємо: $\overline{\mathrm{AO}}$ = $\frac{1}{3}$($\overline{\mathrm{AB}}$ + $\overline{\mathrm{AC}}$). Що й треба було довести.