Вправи: 729

729. Площа круга, описаного навколо рівнобедреного трикутника, дорівнює 100π см². Знайдіть площу круга, вписаного в цей трикутник, якщо висота, проведена до основи, дорівнює 18 см.

Дано: ∆АВС; S_оп. = 100π см²;

ВК = 18 см - висота.

Знайти: S_вп.

Розв’язання

S = πR²; R² = Sπ = 100ππ = 100;

R = 10 см; ОВ = ОС = 10 см;

ОК = ВК - ОВ = 18 - 10 = 8 (см)

∆ОКС (∠D = 90°):

KC = OC2 - OK2 = 102 - 82 = 100 - 64 = 6 (см)

АС = 2 • КС = 2 • 6 = 12 (см).

S∆ = 12 • AC • BK = 12 • 12 • 18 = 108 (см²).

∆BKC (∠K = 90°):

BC = BK2 + KC2 = 182 + 62 = 324 + 36 = 360 = 610 (см);

АВ = 610 (см)

р = 12(AB + BC + AC) = 12(610 + 610 + 12) = 610 + 6.

r = Sp = 108610 + 6 = 1086(10 + 1) = 1810 + 1 = 18(10 - 1)9 = 2(10 - 1)

S = πr² = π(2(10 - 1))² = 4π(10 - 1)² = 4π(10 - 210 + 1) =

= 4π(11 - 210) (см²)

Відповідь: 4π(11 - 210) см².