Вправи: 545

545. Дві сторони трикутника пропорційні числам 7 і 8, а кут між ними — 120°. Знайдіть периметр трикутника, якщо його площа

563 см².

Дано: ∆АВС; АВ : АС = 7 : 8;

∠В = 120°; S = 563 см²

Знайти: Р_АВС

Розв’язання

Нехай АВ = 7k, тоді ВС = 8k.

S_ABC = 12 • AB • BC • sin B = 12 • 7k • 8k •

• sin 120° = 12 • 56k² • sin 60° = 28k² • 32 = 143k².

143k² = 563 |: 143

k² = 4

k₁ = 2

k₂ = -2 - не задовольняє умову

АВ = 7 • 2 = 14 (см)

ВС = 8 • 2 = 16 (см)

За теоремою косинусів:

AC² = AB² + BC² - 2 • AB • BC • cos 120° = 14² + 16² + 2 • 14 • 16 •

• cos 60° = 196 + 256 + 448 • 12 = 676

AC = 676 = 26 (см)

P = AB + BC + AC = 14 + 16 + 26 = 56 (см)

Відповідь: 56 см.