Вправи: 524

524. У трикутній піраміді PABC бічні ребра PA, PB, PC дорівнюють відповідно 3 дм, 4 дм і 5 дм, а кут між кожними двома з них — 60°.

Знайдіть периметр трикутника ABC (мал. 167).

Дано: PABC - піраміда;

РА = 3 дм; РВ = 4 дм;

РС = 5 дм;

∠APB = ∠APC = ∠CPB = 60°.

Знайти: Р_АВС.

За теоремою косинусів з ∆АРВ:

AB² = AP² + PB² - 2 • AP • PB • cos P = 3² + 4² - 2 •

• 3 • 4 • cos 60° = 9 + 16 - 24 • 12 = 25 - 12 = 13.

AB = 13.

За теоремою косинусів з ∆АРС:

AC² = AP² + PC² - 2 • AP • PC • cos P = 3² + 5² - 2 • 3 • 5 • cos 60° =

= 9 + 25 - 30 • 12 = 34 - 15 = 19

AC = 19.

За теоремою косинусів з ∆СРВ:

BC² = CP² + PB² - 2 • CP • PB • cos P = 5² + 4² - 2 • 5 • 4 • cos 60° =

= 25 + 16 - 40 • 12 = 41 - 20 = 21.

BC = 21.

P_ABC = AB + BC + AC = 13 + 21 + 19 (см)

Відповідь: 13 + 21 + 19 (см).