Вправи: 428

428. Діагоналі паралелограма дорівнюють 83 см і 16 см, а кут між ними 30°. Знайдіть сторони паралелограма.

Дано: ABCD - паралелограм;

BD = 83 см; АС = 16 см;

∠COD = 30°

Знайти: AB; BC; CD; AD

Розв’язання

За властивістю паралелограма:

OD = 12 BD = 12 • 83 = 43 (см);

OC = 12 AC = 12 • 16 = 8 (см).

За теоремою косинусів з ∆DOC:

CD² = OD² + OC² - 2 • OD • OC • cos 30° = (43)² + 8² - 2 • 43 • 8 •

• 32 = 48 + 64 - 96 = 16.

CD = 16 = 4 (см); AB = CD = 4 см.

∠BOC = 180° - ∠COD = 180° - 30° = 150°.

За теоремою косинусів з ∆BOC:

BC² = BO² + OC² - 2 • BO • OC 150° = (43)² + 8² - 2 • 43 • 8 •

• (-cos 30°) = 48 + 64 + 2 • 43 • 8 • 32 = 48 + 64 + 96 = 208

BC = 208 = 413 (см); AD = BC = 413 см.

Відповідь: 4 см; 413 см; 4 см; 413 см.