Вправи: 427

427. Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо його сторони дорівнюють 7 см і 32 см, а гострий кут 45°.

Дано: ABCD - паралелограм:

AD = 7 см; AB = 32 см; ∠А = 45°.

Знайти: AC; BD.

Розв’язання

За теоремою косинусів з ∆DAB:

BD² = AD² + AB² - 2 • AD • AB • cos A = 7² +

+ (32)² - 2 • 7 • 32 • cos 45° = 49 + 18 - 14 • 32 • 22 = 67 - 42 =

= 25

BD = 25 = 5 см.

∠B = 180° - ∠A = 180° - 45° = 135°.

За теоремою косинусів з ∆АВС:

AC² = AB² + BC² - 2 • AB • BC • cos B = (32)² + 7² - 2 • 32 • 7 •

• cos 135° = 18 + 49 - 422 • (-cos 45°) = 67 + 422 • 22 = 67 + 42 = 109

AC = 109 (см)

Відповідь: 109 см; 5 см.