Вправи: 385

385. Доведіть, що точки M(1; 3), N(–2; 7), K(–8; 15) лежать на одній прямій. Яка з точок лежить між двома іншими? У якому відношенні вона ділить відрізок?

Дано: M(1; 3), N(-2; 7), K(-8; 15).

Довести: M, N, K ∈ одній прямій.

Знайти: яка точка лежить між двома; відношення між відрізками

Розв’язання

MN = (-2 - 1; 7 - 3) = (-3; 4);

NK = (-8 + 2; 15 - 7) = (-6; 8)

MK = (-8 - 1; 15 - 3) = (-9; 12)

Знайдемо відношення відповідних координат:

-3-6 = 48; -3-9 = 412; -6-9 = 812.

Отже, вектори MN, NK, MK - колінеарні, тому точки M, N, K лежать на одній прямій.

|MN| = (-3)2+ 42 = 9 + 16 = 25 = 5;

|NK| = (-6)2+ 82 = 36 + 64 = 100 = 10;

|MK| = (-9)2+ 122 = 81 + 144 = 225 = 15.

Отже, точка N лежить між M i K.

MN : NK = 1 : 2.

Відповідь: 1 : 2.