Вправи: 388

388. Знайдіть координати точки перетину медіан трикутника ABC, якщо A(–7; 12), B(–3; –2), C(4; 5).

Дано: ∆АВС; А(-7; 12), B(-3; -2), C(4; 5), O - точка перетину медіан.

Знайти: О(х; у).

Розв’язання

Р - середина АВ: Р(-7 - 32; 12 - 22) = Р(-5; 5).

За властивістю перетину медіан трикутника:

СО : ОР = 2, тому

x₀ = xc + 2xp3 = 4 + 2 • (-5)3 = 4 - 103 = -63 = -2;

y₀ = yc + 2yp3 = 5 + 2 • 53 = 5 + 103 = 153 = 5.

Отже, О(2; -5)

Відповідь: (2; -5).

391. Знайдіть площу трикутника ABC, якщо A(2; 1), B(8; 7), C(6; 2).

Дано: ∆АВС; А(2; 1),

В(8; 7), С(6; 2).

Знайти: S_ABC.

Розв’язання

AB = (8 - 2; 7 - 1) = (6; 6);

AC = (6 - 2; 2 - 1) = (4; 1).

cos A = cos(AB, AC) = AB • AC|AB| • |AC| = 6 • 4 + 6 • 162+62 •42+ 12 = 3072 • 17 =

= 301224 = 30634 = 534 = 55,83 = 0,857.

sin A = 1 - cos2A = 1 - 0,8572 = 1 - 0,734 = 0,266 = 0,52.

S_ABC = 12 • |AB| • |AC| • sin A = 12 • 5,83 • 0,52 = 1,5.

Відповідь: 1,5 од².

392. Діагоналі чотирикутника перпендикулярні. Доведіть, що суми квадратів протилежних сторін цього чотирикутника рівні.

Дано: ABCD - чотирикутник

AC ⊥ BD.

Довести: BC² + AD² = AB² + CD²

Доведення

∆BOC (∠O = 90°): BC² = OB² + OC².

∆AOD (∠O = 90°): AD² = OA² + OD².

BC² + AD² = OB² + OC² + OA² + OD².

∆BOA (∠O = 90°): AB² = OB² + OA².

∆COD (∠O = 90°): CD² = OC² + OD².

AB² + CD² = OB² + OA² + OC² + OD².

Отже, BC² + AD² = AB² + CD².