Вправи: 389 (1)

389. Напишіть рівняння висот трикутника ABC, якщо A(–1; 2),

B(3; 5), C(7; –3).

Дано: ∆ABC; A(-1; 2), B(3; 5),

C(7; -3), BD, AM, CE - висоти.

Знайти: рівняння прямих BD, AM, CE.

Розв’язання

1) Нехай D(x; y) - точка шуканої прямої BD і

BD ⊥ AC. Тоді AC • BD = 0.

Оскільки AC = (7 + 1; -3 - 2) = (8; -5);

BD = (x - 3; y - 5), то

AC • BD = 8(x - 3) - 5(y - 5)

8(x - 3) - 5(y - 5) = 0

8x - 24 - 5y + 25 = 0

8x - 5y + 1 = 0 - рівняння прямої BD.

2) Нехай M(x; y) - точка шуканої прямої AM і AM ⊥ BC. Тоді BC •

• AM = 0.

Оскільки BC = (7 - 3; -3 - 5) = (4; 8);

AM = (x + 1; y - 2), то

BC • AM = 4(x + 1) - 8(y - 2)

4(x + 1) - 8(y - 2) = 0

4x + 4 - 8y + 16 = 0

4x - 8y + 20 = 0| : 4

x - 2y + 5 = 0 - рівняння прямої AM.

3) Нехай E(x; y) - точка шуканої прямої CE і CE ⊥ AB. Тоді AB •

• CE = 0.

Оскільки AB = (3 + 1; 5 - 2) = (4; 3);

CE = (x - 7; y + 3), то

AB • CE = 4(x - 7) + 3(y + 3)

4(x - 7) + 3(y + 3) = 0

4x - 28 + 3y + 9 = 0

4x + 3y - 19 = 0 - рівняння прямої CE.

Відповідь: 8x - 5y + 1 = 0; x - 2y + 5 = 0, 4x + 3y - 19 = 0.