Вправи: 377

377. Бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника ділить медіану, проведену до основи, на відрізки 10 см і 8 см. Обчисліть периметр і площу трикутника.

Дано: ∆АВС - рівнобедрений;

ВМ - медіана; ВК - бісектриса;

BM X BK в точці О;

ВО = 10 см; ОМ = 8 см.

Знайти: P_ABC, S_ABC.

Розв’язання

BM = BO + OM = 10 + 8 = 18 (см)

За властивістю бісектриси:

AMAB = 810 = 45.

AM = 4AB5.

Побудуємо паралелограм ABCE.

За властивістю паралелограма:

AC² + BE² = 2(AB² + BC²).

AB = BC; BE = 2 • BM = 2 • 18 = 36;

AC = 2AM = 2 • 4AB5 = 1,6AB

(1,6AB)² + 36² = 2 • 2AB²

2,56AB² + 1296 = 4AB²

1,44AB² = 1296

AB² = 900

AB = 30 (см)

AC = 16 • 30 = 48 (см)

P_ABC = AB + BC + AC = 30 + 30 + 48 = 108 (см)

S_ABC = 12BM • AC = 12 • 18 • 48 = 432 (см²)

Відповідь: 108 см; 432 см².