Вправи: 384

384. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках A(–1; –2),

B(–8; 4), C(1; 6), D(8; 0) — ромб.

Дано: ABCD - чотирикутник;

A(-1; -2), B(-8; 4), C(1; 6), D(8; 0)

Довести: ABCD - ромб.

Доведення

О - середина BD: O(-8 + 82; 4 + 02) = O(0; 2);

OB = (-8 - 0; 4 - 2) = (-8; 2);

OC = (1 - 0; 6 - 2) = (1; 4).

OB • OC = -8 • 1 + 2 • 4 = -8 + 8 = 0; тому

OB ⊥ OC

|OB| = (-8)2 + 22 = 64 + 4 = 68 = 217

|OC| = 12 + 42 = 1 + 4 = 5

OB ≠ OC

AB = (-8 + 1; 4 + 2) = (-7; 6);

BC = (1 + 8; 6 - 4) = (9; 2).

|AB| = (-7)2 + 62 = 49 + 36 = 85;

|BC| = 92 + 22 = 81 + 4 = 85

AB = BC

Отже, ABCD - ромб.