Вправи: 857

857. Дуга сегмента містить 120°, а її довжина дорівнює l. Знайдіть площу круга, вписаного в цей сегмент.

Дано: ∪AB = l, n = 120°

Знайти: S_кр., вписаного в сегмент.

Розв'язання

Знайдемо радіус ОА:

l = πRn°180° = πR•120°180° = 2πR3; R = 3l2π. OA = 3l2π.

∆OKA (∠K = 90°):

∠AOK = 12 ∠AOB = 12 120° = 60°; ∠OAK = 30°.

OK = 12 OA = 12 • 3l2π = 3l4π – за властивістю катета, що лежить проти кута 30°.

MK = OM – OK = R – 3l4π = 3l2π – 3l4π = 3l4π.

Знайдемо радіус круга вписаного в сегмент.

r = 12MK = 12 • 3l4π = 3l8π.

S_кр. = πr² = π • (3l8π)² = π • 9l264π2 = 9l264π.

Відповідь: 9l264π.