Вправи: 855

855. 1) Навколо правильного трикутника з площею Q описано коло, і в цей самий трикутник вписано коло (мал. 246). Знайдіть площу

кільця, обмеженого цими колами, якщо їх радіуси — R і r.

2) Узагальніть задачу для правильного n–кутника.

Дано: ∆АВС – правильний,

S_∆ABC = Q; K₁(O; R), K₂(O; r) – описане

і вписане кола.

Знайти: S_к.

Розв’язання

S_к∆ = S₁ – S₂ = πR² – πr² = π(R² – r²).

∆BOK (∠K = 90°): BK = R2-r2;

BC = 2 • BK = 2R2-r2; BC² = 4 • (R² – r²)

За умовою Q = BC234; BC² = 4Q3

Маємо: 4Q3 = 4 • (R² – r²)

R² – r² = Q3 = Q33

S_к. = π • Q33 = Qπ33

Відповідь: Qπ33.