Вправи: 749

749. Знайдіть сторону правильного шестикутника та радіус вписаного кола, якщо його менша діагональ дорівнює:

Нехай задано правильний шестикутник ABCDEF з меншою діагоналлю АЕ.

∠AFE = 180° •(6-2)6 = 120°. Із ∆AEF за теоремою косинусів

AE² = AF² + EF² – 2AF • EF • cos∠AFE,

AE² = 2AF² – 2AF² • cos120°, AE² = 2AF² – 2AF² • (–12),

AE² = 2AF² + AF², AE² = 3AF²; AF² = AE23, AF = AE23 = AE3.

Радіус кола r, вписаного в даний шестикутник, r = AF32,

r = AE23 • 32 = AE22 = AE2.

1) якщо АЕ = 103 см, то AF = 1033 = 10 (см); r = 1032 = 53 (см);

2) якщо АЕ = 123 см, то AF = 1233 = 12 (см); r = 1232 = 63 (см);

3) якщо АЕ = d, то AF = d3 = d33; r = d2.

Відповідь: 1) AF = 10 см, r = 53 см; 2) AF = 12 см, r = 63;

3) AF = d33, r = d2.