Вправи: 751

751. Спільна хорда двох кіл, що перетинаються, є для одного кола стороною правильного вписаного трикутника, а для другого — стороною правильного вписаного шестикутника. Знайдіть відстань між центрами кіл, якщо хорда дорівнює:

Нехай коло з центрами О і О₁ перетинаються в точках А і В, і АВ – сторона правильного ∆АВС, вписаного в коло з центром О і радіусом ОВ, а також АВ – сторона правильного шестикутника, вписаного в коло з центром О₁ і радіусом О₁В. Знайдемо відстань між центрами кіл ОО₁.

Позначимо довжину АВ за b см, тоді ОВ = b33 (радіус описаного кола), О₁В = b (радіус описаного кола). У правильному ∆ABC ∠CBA =

= 60°; у правильному шестикутнику ∠ABL = 180°(6-2)6 = 120°.

Радіуси кіл, описаних навколо правильних многокутників, є бісектрисами його внутрішніх кутів, тоді ∠ОВА = 60°2 = 30°, ∠О₁ВА =

= 120°2 = 60°.

У ∆ОВО₁ ∠ОВО₁ = 30° + 60° = 90°. У прямокутному ∆ОВО₁ ОО12 =

= ОВ² + О₁В²

ОО12 = (b32)² + b², ОО12 = b2•39 + b², ОО12 = 4b23, ОО12 = 2b3.

1) якщо b = 9 см, то ОО₁ = 2 •93 = 63 (см);

2) якщо b = 33 см, то ОО₁ = 2 •333 = 6 (см);

3) якщо b = a, то ОО₁ = 2а3.

Відповідь: 1) 63 см; 2) 6 см; 3) 2а3.

Самостійно розгляньте випадок, коли трикутник АВС лежить усередині шестикутника.