Вправи: 708

708. Від кожної вершини квадрата зі стороною а на його сторонах

відкладено відрізки, що дорівнюють половині його діагоналі

(мал. 203). Здобуті 8 точок послідовно сполучено відрізками. Дове–

діть, що утворений восьмикутник — правильний.

За мал. 204. Нехай сторона квадрата а. За будовою ВЕ = QC = CK =

= FD = AO = RD = AР = BM = а22, тоді BQ = EC = CF = KD = OD =

= AR = AM = PB = а – а22 = а2(2 – 2).

Оскільки ∠B = ∠C = ∠D = ∠А, то ∆PBQ = ∆ECF = ∆KDO = ∆RAM за двома сторонами і кутом між ними. Тоді PQ = ЕF = KO = RM і ∠BQP =

= ∠BPQ = ∠CEF = ∠CFE = ∠DKO = ∠DOC = ∠ARM = ∠AMR. Звідки суміжні їм кути ∠PQЕ = ∠QЕF = ∠EFK = ∠FKO = ∠KOR = ∠ORM =

= ∠RMP = ∠MPQ.

QE = FK = OR = MP = q – 2 • a2 (2 – 2) = a – a(2 – 2) = a – 2a +

+ a2 = a2 – a.

Із прямокутного ∆PBQ (∠B = 90°) маємо: PQ = BQ • 2,

PQ = a2 (2 – 2) • 2 = a2 (22 – 2) = a2 – a, тобто PQ = QE.

Aналогічно доводимо, що PQ = QE = EF = FK = OK = RO = MR = PM, отже, PQEFKORM – правильний восьмикутник.