Вправи: 705

705. П’ятикутник ABCDE — правильний (мал. 201). Доведіть, що

п’ятикутник FGHKL — теж правильний.

За мал. У задачі 701 було доведено, що ∠FAE = ∠FEA = ∠LED =

= ∠LDE = ∠KDC = ∠KCD = ∠HCB = ∠HBC = ∠GBA = ∠GAB. Тоді рівнобедрені ∆AFE = ∆ELD = ∆CKD = ∆CMB = ∆BGA за стороною

(AE = ED = CD = BC = AB) і прилеглими кутами. Тоді FE = LE = DL =

= DK = CK = CH = BH = BG = AG = AF, а оскільки ∠FЕL = ∠KDL =

= ∠HCK = ∠HBG = ∠GAF, то ∆FEL = ∆KDL = ∆HCK = ∆HBG = ∆GAF за двома сторонами і кутом між ними, а отже FL = Kl = HK = HG = GF. ∠GFL = ∠FLK = ∠HKL = ∠HGF = ∠KHG як вертикальні до рівних кутів ∠AFE = ∠ELD = ∠CKD = ∠CHB = ∠BGA. Тоді п'ятикутник FGHKL – правильний. Що ц треба було довести.