Вправи: 703

703. ABCDEFGH — правильний восьмикутник (мал. 200).

Доведіть, що точки K, L, M, N — вершини квадрата.

У правильного восьмикутника ∠А = ∠B = ∠С =

= ∠D = ∠E = ∠F = ∠M =

= ∠N = 180°•(8-2)8 = 135°, AB = BC = CD = DE = EF = FM = MN = NA. Тоді рівнобедрені ∆ABC =

= ∆CDE = ∆EFM = ∆MNA за двома сторонами і кутом між ними, і ∠BAC = ∠BCA = ∠DCE = ∠DEC = ∠FEM = ∠FМE =

=∠NMA = ∠NAM = 180°-135°2 = 22°30'.

∠BАN = ∠BAC + ∠CAM + ∠NAM = 22°30' + ∠CAM + 22°30' + ∠CAM +

+ 45° = 135°, звідки ∠САМ = 135° – 45° = 90°. Аналогічно ∠АСЕ =

= 90°, ∠CEM = 90° ∠AME = 90°.

Із рівності трикутників маємо: AC = CE = ME = AM.

Тоді чотирикутник ACEM – квадрат. Що й треба було довести.