Вправи: 702

702. Дано правильний п’ятикутник. Доведіть: 1) усі його діагоналі —

рівні; 2) кожна діагональ паралельна одній з його сторін; 3) на кож–

ній з діагоналей, що перетинаються, є відрізок, що дорівнює сторо–

ні п’ятикутника.

Дано: ABCDЕ – п'ятикутник, AB = BC = CD = AE, ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E.

Довести: 1) AC = CE = BD = AD = BE;

2) BD ∥ АЕ, АС ∥ DE, CE ∥ AB, BE ∥ CD, AD ∥ BC; 3) на кожній із діагоналей при перетині утворюється відрізки, що дорівнюють AB.

Доведення. 1) Розглянемо рівнобедрені ∆ABC, ∆BCD, ∆CDЕ, ∆DEА, ∆ЕAB: AB = BC = CD = EA, BC = CD = EA = AB, ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = ∠A. Тоді за двома сторонами і кутом між ними трикутники рівні, отже AC = BD = CE = DA = BE. Діагоналі правильного п'ятикутника рівні.

2) Із рівності трикутників випливає, що ∠BAC = ∠BCA = ∠CBD =

= ∠CDB = ∠DCE = ∠DEC = ∠EDA = ∠EAD = ∠АЕВ = ∠ABE = 36°, оскільки ∠А = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = 180°•35 = 108°.

Тоді ∠CAD = ∠BED = ∠BDA = ∠ACE = ∠DBE = 108° – 2 • 36° = 36°. Розглянемо BD і ЕА та їх січну BE: ∠DBE = ∠AEB (внутрішні різносторонні кути), тоді BD ∥ AE. Аналогічно доводимо, що СЕ ∥ BA, AC ∥ DЕ, BE ∥ CD, AD ∥ BC.

3) Позначимо точки перетину діагоналей AC і BD – K, AC і BE – F, BD і CE – M, CE і AD – L, BE і AD – N. Розглянемо чотирикутник BMEА: ВМ ∥ АЕ (BD ∥ AE), ME ∥ BA (CE ∥ BA), тоді BMЕA – паралелограм, а отже, його протилежні сторони рівні і BA = ME. Аналогічно доводимо, що BM = AE, AK = DE, ЕF = CD, ND = BC. На кожній із діагоналей, що перетинаються, лежить відрізок, що дорівнює стороні. Що й треба було довести.