Вправи: 706

706. Доведіть, що середини сторін правильного n–кутника є вершинами іншого правильного n–кутника.

Довести, що середини сторін правильного n–кутника є вершинами правильного n–кутника.

Доведення

Через середини сторін правильного n–кутника A₁A₂…A_n побудуємо n–кутник А₁В₂…В_n.

В ∆B₁ОB₂ і ∆В₂OB₃:

1) ОB₁ = OB₃ – як радіуси;

2) ОB₂ – спільна сторона;

3) ∠B₁ОВ₂ = B₂OB₃ – як подвоєні центральні кути правильного

n–кутника A₁A₂…A_n.

Отже, ∆B₁ОВ₂ = B₃OB₂.

Тому B₁B₂ = B₂B₃ як відповідні сторони рівних трикутників.

∠OB₁B₂ = ∠OB₃B₂; ∠OB₂B₁ = ∠OB₂B₃ як відповідні кути рівних трикутників.

Отже, в утвореному n–кутнику B₁B₂…B_n всі сторони рівні й усі кути рівні.

Звідси B₁B₂…B_n – правильний n–кутник.

Доведено.