Вправи: 619

619. Знайдіть діагоналі трапеції, якщо її основи дорівнюють 23,8 см

і 43,5 см, а кути при більшій основі — 64° і 71°.

За даними малюнка знайти BD i AC.

Розв’язання

Проведемо СК ∥ АВ, тоді KD = AD – BC = 46,5 – 23,5 = 20 (см).

∠CKD = ∠A = 64° – як відповідні кути.

∠KCD = 180° – (∠D + ∠CKD) = 180° – (71° + 64°) = 45° – за теоремою про суму кутів трикутника.

За теоремою синусів з ∆KCD:

CKsinD = KDsin∠KCD:

CK = KD •sinDsin∠KCD = 20 •sin71°sin45° = 20 •0,94550,7 = 27 (см)

АВ = СК = 27 см.

За теоремою синусів з ∆KCD:

CDsin∠CKD = KDsin∠KCD:

CD = KD •sin∠CKDsin∠KCD = 20•sin64°sin45° = 20 •0,89880,7 = 25,68 (см).

За теоремою косинусів з ∆DAB:

BD² = AB² + AD² – 2 • AB • AD • cosA = 27² + 43,5² – 2 • 27 • 43,5 •

• cos 64° = 729 + 1892,25 – 2349 • 0,4384 = 1591,45.

BD = 1591,45 ≈ 39,9 (см)

За теоремою косинусів з ∆ACD:

AC² = AD² + CD² – 2 • AD • CD • cosD = 43,5² + 25,68² – 2 • 43,5 •

• 25,68 • cos 71° = 1892,25 + 659,46 – 2234,16 • 0,3256 = 1824,27.

AC = 1824,27 ≈ 42,7 (см).

Відповідь: 39,9 см; 42,7 см.