Вправи: 616

616. У трикутнику АВС АВ = 2 см, АС = 5 см, ВС = 6 см. Знайдіть

відстань від вершини В до точки перетину висот трикутника.

Оскільки BC² > AC² + AB², то ∆АВС – тупокутний з тупим кутом А. Проведемо висоти ∆АВС АН, BN, CK, продовження яких перетинаються в точці О.

Із ∆САВ cos∠ACB = AC2+ BC2- AB22AC •BC,

cos∠ACB = 25+36-42 •5 •6 = 5760.

Із ∆АНВ (∠АНВ = 90°)

AH² = AB² – HB², AH² = 4 – HB²;

із ∆АНС (∠АНС = 90°) АН² = СА² – НС²; оскільки НС = 6 – НВ, то

АН² = 25 – (6 – НВ)²;

4 – НВ² = 25 – (36 – 12НВ + НВ²), 4 – НВ² = 25 – 36 + 12НВ – НВ², 12НВ = 15, НВ = 54 см. Розглянемо ∆САН і ∆OAN – прямокутні, ∠САН =

= ∠OAN (вертикальні), тоді ∠АСВ = ∠AON = 5760, sin ∠AON =

= 1-cos2∠AON, sin ∠AON = 1-(5760)2 = 3920.

Із ∆ОНВ (∠ОНВ = 90°) ОВ = HBsin∠HOB = HBsin∠AON;

OB = 54 : 3920 = 5 •20439 = 253939 (см).

Відповідь: 253939 см.